Osnovna pretpostavka binomne distribucije je da postoji konačan broj n nezavisnih eksperimenata u kojima je mogući rezultat "uspeh" ili "neuspeh". Verovatnoća "uspeha" iznosi p i ista je za sve eksperimente, dok verovatnoća "neuspeha" iznosi 1-p.

Da neka serija brojeva podleže binomnoj distribuciji može se skraćeno napisati kao

X ~ B(n, p)

gde je

X - slučajna promenljiva,
B - oznaka za binomnu distribuciju,
n - broj eksperimenata, a
p - verovatnoća uspeha.

Vrednosti n i p se nazivaju parametri distribucije i oba su neophodna da bi se distribucija opisala u potpunosti.

Slučajna promenljiva X predstavlja ukupan broj uspeha u fiksnom broju n nezavisnih eksperimenata.

Funkcija verovatnoće binomne distribucije, tj. verovatnoća dešavanja r uspeha iz n nezavisnih eksperimenata, pri čemu je u svakom eksperimentu verovatnoća uspeha p, glasi

Binomna distribucija

pri čemu je 0 ≤ r ≤ n

Broj eksperimenata n je ekvivalent pojmu veličina uzorka.

Binomna distribucija se može koristiti kao model za uzorkovanje samo kada se vrši uzorkovanje sa ponavljanjem, tj. kada izabrani element ponovo učestvuje u biranju. Samo u izuzetnim slučajevima, kada je populacija ekstremno velika može se aproksimirati binomna distribucija, jer se smatra da jedan nedostajući element populacije veoma malo utiče na verovatnoću izbora sledećeg elementa.

Primer: Bacanje kockice

Na 4 stranice kocke je napisano slovo A, dok je na preostale dve stranice napisano slovo B. Kolika je verovatnoća da će iz 4 bacanja 2 puta da se okrene slovo A?

Odgovor: U našem primeru, n=4, jer imamo ukupno 4 bacanja, a r=2. Verovatnoća da će se kockica okrenuti na slovo A iznosi 4/6, odnosno p=2/3, što znači da je (1-p)=1/3.

Koristeći se formulom za binomnu distribuciju, dobijamo

P(2) = 4!/(2!·2!) · (2/3)2 · (1/3)2 = 6 · 4/9 · 1/9 = 24/81 = 29,63%

Oblik binomne distribucije zavisi od verovatnoće uspeha p. Kada je p = 0,5, distribucija je simetrična, dok je za ostale vrednosti asimetrična.

Ako je p < 0,5, distribucija je pozitivna, tj. asimetrična u desno. Ako je p > 0,5, distribucija je negativna, odnosno asimetrična u levo. Binomna distribucija iz primera se grafički može predstaviti na sledeći način:

Binomna distribucija

Vidimo da u našem primeru distribucija nije simetrična. Pošto je p = 2/3 > 0,5, distribucija je negativna, tj. asimetrična u levo.

Slučajna promenljiva koja ima binomni raspored B(n, p) ima očekivanu vrednost

E(X) = np

Varijansa slučajne promenljive koja ima binomni raspored B(n, p) računa se po formuli

σ2(X) = np(1 - p)

Binomna distribucija ima dva moda ako i samo ako je vrednost (n + 1)p ceo broj; u suprotnom, distribucija ima samo jedan mod.

Ako je broj eksperimenata veliki, a verovatnoća uspeha p nije ekstremno mala, oko 95% obzervacija slučajne promenljive X~B(n, p) leži u rasponu od dve standardne devijacije oko očekivane vrednosti, odnosno u intervalu [E(X) - 2σ, E(X) + 2σ].