Геометријска дистрибуција је дефинисана функцијом

P(X=x) = (1 - p)(x-1)p

Да би нека дистрибуција била геометријска морају бити испуњени следећи услови:

  • експерименти морају бити независни;
  • резултат сваког експеримента је или успех или неуспех и
  • вероватноћа успеха у сваком експерименту је иста.

Пример: Бацање новчића

Колика је вероватноћа да ће новчић пасти на писмо из 5-тог покушаја?

Одговор: У овом примеру, A је догађај "новчић је пао на писмо", а P(A) = p. Вероватноћа дешавања догађаја B "новчић је пао на главу" изражава се као P(B) = 1-p, при чему важи да је 0 < p < 1.

Под овим претпоставкама, вредност случајне променљиве X добија се као број неуспелих покушаја + 1 (јер се броји и "успех"). Пошто је сваки експеримент независан догађај, вероватноћа да ће се догађај A десити у i-том експерименту добија се као производ вероватноћа дешавања догађаја B у претходних i-1 покушаја и вероватноће дешавања догађаја A.

P1 = p
P2 = (1-p)p
P3 = (1-p)2p
P4 = (1-p)3p
P5 = (1-p)4p

Пошто је вероватноћа добијања писма на фер новчићу 0,5, добијамо да је

P(A) = 0,54 * 0,5 = 0,03125, односно 3,13%

Геометријска дистрибуција се може графички представити путем хистограма.

Геометријска дистрибуција

Расподела се назива геометријска зато што вероватноће опадају геометријском прогресијом.

Кумулативне вероватноће геометријске дистрибуције се израчунавају по формули

P(X ≤ x) = 1 - (1 - p)x

односно

P(X > x) = (1 - p)x

Пример: Аутостопер

Претпоставимо да свега 1% возача стане да би повезло аутостопера. Петар је стао на пут и избацио прст. Колика је вероватноћа да ће поред њега проћи најмање 7 аутомобила пре него што неко стане и повезе га?

Одговор: Свако возило које прође за Петра може бити успех, ако га повезе или неуспех, ако га не повезе. Вероватноћа да ће га неко повести је p=0,01, односно (1-p)=q=0,99 је вероватноћа да га возило неће повести. Нека је X укупан број возила која прођу поред Петра, укључујући и оно које га повезе.

Користећи формулу за кумулативну дистрибуцију вероватноће геометријске дистрибуције, добијамо

P(X ≤ 7) = 1 - (1 - 0,01)7 = 1 - 0,9321 = 0,0679, односно 6,79%

То значи да је вероватноћа да ће проћи строго више од 7 аутомобила пре него што неко повезе Петра једнака

P(X > 7) = (1 - 0,01)7 = 0,9321, односно 93,21%.

Све геометријске дистрибуције имају једнак облик - бесконачни низ све мањих вероватноћа. Степен смањивања вероватноћа зависи од величине p, али је мод дистрибуције увек за x=1. На овај начин се генерише парадокс по којем за сваки догађај испада да се најчешће дешава код првог покушаја!

Очекивана вредност геометријске дистрибуције израчунава се по формули

Очекивана вредност геометријске дистрибуције

Варијанса геометријске дистрибуције се рачуна по формули

Варијанса геометријске дистрибуције