Основна претпоставка биномне дистрибуције је да постоји коначан број н независних експеримената у којима је могући резултат "успех" или "неуспех". Вероватноћа "успеха" износи п и иста је за све експерименте, док вероватноћа "неуспеха" износи 1-п.
Да нека серија бројева подлеже биномној дистрибуцији може се скраћено написати као
X ~ Б(н, п)
где је
X - случајна променљива,
Б - ознака за биномну дистрибуцију,
н - број експеримената, а
п - вероватноћа успеха.
Вредности н и п се називају параметри дистрибуције и оба су неопходна да би се дистрибуција описала у потпуности.
Случајна променљива X садржи број експеримената који су извршени пре него што се десио "успех".
Вероватноћа дешавања р успеха из н независних експеримената, при чему је у сваком експерименту вероватноћа успеха п износи
при чему је 0≤р≤ н
Број експеримената н је еквивалент појму величина узорка.
Биномна дистрибуција се може користити као модел за узорковање само када се врши узорковање са понављањем, тј. када изабрани елемент поново учествује у бирању. Само у изузетним случајевима, када је популација екстремно велика може се апроксимирати биномна дистрибуција, јер се сматра да један недостајући елемент популације веома мало утиче на вероватноћу избора следећег елемента.
Пример: Бацање коцкице
На 4 странице коцке је написано слово А, док је на преостале две странице написано слово Б. Колика је вероватноћа да ће из 4 бацања 2 пута да се окрене слово А?
Одговор: У нашем примеру, н=4, јер имамо укупно 4 бацања, а р=2. Вероватноћа да ће се коцкица окренути на слово А износи 4/6, односно п=2/3, што значи да је (1-п)=1/3.
Користећи се формулом за биномну дистрибуцију, добијамо
П(2)=4!/(2!*2!)*(2/3)2*(1/3)2=6*4/9*1/9=24/81=29.63%
Облик биномне дистрибуције зависи од вероватноће успеха п. Када је п = 0.5, дистрибуција је симетрична, док је за остале вредности асиметрична.
Ако је п<0.5, дистрибуција је позитивна, тј. асиметрична у десно. Ако је п>0.5, дистрибуција је негативна, односно асиметрична у лево. Биномна дистрибуција из примера се графички моžе представити на следећи начин:
Видимо да у нашем примеру дистрибуција није симетрична. Пошто је п = 2/3 > 0.5, дистрибуција је негативна, тј. асиметрична у лево.
Случајна променљива која има биномни распоред Б(н, п) има очекивану вредност
Е(X) = нп
Варијанса случајне променљиве која има биномни распоред Б(н, п) рачуна се по формули
σ2(X) = нп(1 - п)
Ако је н непаран број, тада дистрибуција има два мода, у супротном има један мод који се обично налази близу очекиване вредности.
Ако је број експеримената велики, а вероватноћа успеха п није екстремно мала, око 95% обзервација случајне променљиве X~Б(н, п) се налази унутар ранга од -2 до +2 стандардне девијације.
биномна дистрибуција
Коментари (0)