Случајна променљива

Функција је математичко правило које сваком елементу датог скупа исхода додељује јединствени реални број. У свету статистике и вероватноће, реална функција дефинисана над простором узорка се традиционално назива случајна променљива.

Ако простор узорка S има генерички елемент e - исход експеримента, тада је случајна променљива функција X = X(e). Обично се e изоставља из нотације, тако да се случајна променљива обележава великим словом X.

Константа је тривијална случајна променљива која увек узима исту вредност, без обзира на исход експеримента.

Начин на који се рачунају вероватноће догађаја који укључују случајну променљиву X зависи од природе те случајне променљиве, тј. од могућности да се преброји скуп њених могућих вредности.

За случајну променљиву се каже да је дискретна или прекидна ако је скуп њених могућих вредности коначан или пребројиво бесконачан.

Случајна променљива је континуелна или непрекидна уколико може попримити било коју вредност из одређеног интервала или подскупа реалних бројева.

P{X = x} је функција вероватноће а израчунава се сумирањем вероватноћа које су додељене пожељним исходима. Кумулативна функција дистрибуције је P{X <= x}. Познавање било које од две функције је довољно за израчунавање вероватноћа свих догађаја који су укључени у P.

Функција густине вероватноће је аналогна функцији вероватноће, али се користи искључиво за континуелне случајне променљиве.

Два најважнија момента дистрибуције случајне променљиве су:

• очекивана вредност и
• варијанса.

Очекивана вредност случајне променљиве

Очекивана вредност случајне променљиве је средња вредност дистрибуције.

Очекивана вредност случајне променљиве X се рачуна као сума производа сваке могуће вредности случајне променљиве x_i и вероватноће да се деси x_i:

Основна особина очекиване вредности је линеарност: Ако су X и Y случајне променљиве, а a и b константе, тада важи

Варијанса и стандардна девијација случајне променљиве

Варијанса случајне променљиве се израчунава као збир квадрата одступања појединих вредности случајне променљиве од њене очекиване вредности.

Стандардна девијација је мера дисперзије вероватноћа око очекиване вредности случајне променљиве. Стандардна девијација случајне променљиве се добије када се израчуна квадратни корен из варијансе.

Заједно са очекиваном вредношћу, варијанса, односно стандардна девијација је параметар дистрибуције и користи се за њен опис.

Примене стандардне девијације случајне променљиве су многобројне. На пример, у финансијама, стандардна девијација цена хартије од вредности је мера ризика који носи та хартија од вредности - што је мања стандардна девијација, то је ризик мањи и обрнуто.