Геометријска дистрибуција је дефинисана функцијом

П(X=x) = (1 - п)(x-1)п

Да би нека дистрибуција била геометријска морају бити испуњени следећи услови:

  • експерименти морају бити независни;
  • резултат сваког експеримента је или успех или неуспех и
  • вероватноћа успеха у сваком експерименту је иста.

Пример: Бацање новчића

Колика је вероватноћа да ће новац пасти на писмо из 5-тог покушаја?

Одговор: У овом примеру, А је догађај "новчић је пао на писмо", а П(А) = п. Вероватноћа дешавања догађаја Б "новчић је пао на главу" изражава се као П(Б) = 1-п, при чему важи да је 0

Под овим претпоставкама, вредност случајне променљиве X добија се као број неуспелих покушаја + 1 (јер се броји и "успех"). Пошто је сваки експеримент независтан догађај, вероватноћа да ће се догађај А десити у и-том експерименту добија се као производ вероватноћа дешавања догађаја Б у претходних и-1 покушаја и вероватноćе дешавања догађаја А.

П1 = п
П2 = (1-п)п
П3 = (1-п)(1-п)п = (1-п)2п
П4 = (1-п)(1-п)(1-п)п = (1-п)3п
П5 = (1-п)(1-п)(1-п) (1-п)п = (1-п)4п

Пошто је вероватноћа добијања писма на фер новчићу 0.5, добијамо да је

П(А)=0.54*0.5=0.03125, односно 3.12%

Геометријска дистрибуција се може графички представити путем хистограма.

Geometrijska distribucija

Расподела се назива геометријска зато што вероватноће опадају геометријском прогресијом.

Кумулативне вероватноће геометријске дистрибуције се израчунавају по формули

П(X ≤ x) = 1 - (1 - п)x

односно

П(X > x) = (1 - п)x

Пример: Аутостопер

Претпоставимо да свега 1% возача стане да би повезло аутостопера. Петар је стао на пут и избацио прст. Колика је вероватноћа да ће поред њега проћи најмање 7 аутомобила пре него што неко стане и повезе га?

Одговор: Свако возило које прође за Петра може бити успех ако га повезе или неуспех, ако га не повезе. Вероватноћа да ће га неко повести је п=0.01, односно (1-п)=q=0.99 је вероватноћа да га возило неће повести. Нека је X број возила након онога које ће повести Петра, укључујући и возило које га је повезло.

Користећи се формулом за кумулативну дистрибуцију вероватноће геометријске дистрибуције добијамо

П(X≤7)= (1-0.01)7=0.0679, односно 6.79%

То значи да је вероватноћа да ће проћи мање од 7 возила пре него што неко повезе Петра 6,79%, из чега следи да је вероватноћа да ће проћи најмање 7 аутомобила пре него што га неко повезе једнака

П(X>7)=1-0.0679=0.9321, тј. 93.21%.

Све геометријске дистрибуције имају једнак облик - бесконачни низ све мањих вероватноћа. Степен смањивања вероватноћа зависи од величине п, али је мод дистрибуције увек за x=1. На овај начин се генерише парадокс по којем за сваки догађај испада да се најчешће дешава код првог покушаја!

Очекивана вредност геометријске дистрибуције израчунава се по формули

Očekivana vrednost geometrijske distribucije

Варијанса геометријске дистрибуције се рачуна по формули

Varijansa geometrijske distribucije