Poasonova distribucija nastaje kada su vrednosti slučajne promenljive X broj događaja koji se dešavaju u različitim regionima vremena i prostora pod sledećim uslovima:

  • događaji se dešavaju nezavisno jedan od drugog;
  • verovatnoća svih događaja je ista;
  • nije moguće da se dva događaja dese u tačno istom regionu vremena ili prostora i
  • prosečna vrednost broja dešavanja događaja u datom vremenskom intervalu je konačna i poznata.

Za događaje koji ispunjavaju ove uslove se kaže da su definisani Poasonovim procesom. U stvarnom svetu postoji mnogo Poasonovih procesa:

  • broj telefonskih poziva na slučajno izabrani dan,
  • broj automobila koji prođu putem u slučajno izabranom periodu od sat vremena,
  • broj automobilskih nesreća na autoputevima slučajno izabranog regiona u slučajno izabranom mesecu,
  • broj grešaka u kucanju na slučajno izabranoj stranici sajta i dr.

Ako slučajna promenljiva X ima Poasonovu distribuciju sa očekivanom vrednošću λ, skraćeno se piše

X ~ Po(λ)

Fukcija distribucije glasi:

Funkcija Poasonove distribucije

Očekivana vrednost Poasonove distribucije je

E(X) = λ

Varijansa Poasonove distribucije je

σ2(X) = λ

Primer: Broj poziva na 988

Iz iskustva je poznato da tipičnim radnim danom između 11 i 12 sati pre podne službi informacija prosečno stiže po 2 poziva svakog minuta. Pretpostavljajući da poziv može biti upućen u bilo koje doba dana, odredite verovatnoću da će za 1 minut stići 4 poziva.

Odgovor: Pošto pozivi stižu u slučajno izabrani trenutak vremena, radi se o Poasonovom rasporedu. Neka slučajna promenljiva X bude definisana kao broj poziva koji pristižu u slučajno izabranom minutu vremena i pošto je prosečan broj poziva po minutu 2 (tj. λ=2), sledi:

P(X=4)=(24*e-2)/4!= 0.09, tj. 9%.

Pošto distribucija nije ograničena po broju elemenata koje slučajna promenljiva može uzeti, grafički prikazujemo samo određeni broj elemenata.

Za vrednosti λ < 1, mod distribucije je jednak 0, a distribucija je asimetrična. Što je očekivana vrednost veća, to distribucija poprima više simetričan oblik. Na velikom broju eksperimenata približno 95% opservacija upada u rang -2 do +2 standardne devijacije od očekivane vrednosti.

U našem primeru, kada izračunamo verovatnoće za vrednosti slučajne promenljive X u rangu od 0 do 9, dobijamo oblik kao na grafikonu.

Poasonova distribucija

Između Poasonove i binomne distribucije postoji veza koja se može opisati na sledeći način: ako slučajna promenljiva X sa parametrima n i p ima binomnu distribuciju, pri čemu je n dovoljno veliko, a p približno jednako 0, tada je distribucija te slučajne promenljive približno Poasonova distribucija koja ima očekivanu vrednost np.