Geometrijska distribucija je definisana funkcijom

P(X=x) = (1 - p)(x-1)p

Da bi neka distribucija bila geometrijska moraju biti ispunjeni sledeći uslovi:

  • eksperimenti moraju biti nezavisni;
  • rezultat svakog eksperimenta je ili uspeh ili neuspeh i
  • verovatnoća uspeha u svakom eksperimentu je ista.

Primer: Bacanje novčića

Kolika je verovatnoća da će novac pasti na pismo iz 5-tog pokušaja?

Odgovor: U ovom primeru, A je događaj "novčić je pao na pismo", a P(A) = p. Verovatnoća dešavanja događaja B "novčić je pao na glavu" izražava se kao P(B) = 1-p, pri čemu važi da je 0

Pod ovim pretpostavkama, vrednost slučajne promenljive X dobija se kao broj neuspelih pokušaja + 1 (jer se broji i "uspeh"). Pošto je svaki eksperiment nezavistan događaj, verovatnoća da će se događaj A desiti u i-tom eksperimentu dobija se kao proizvod verovatnoća dešavanja događaja B u prethodnih i-1 pokušaja i verovatnoće dešavanja događaja A.

P1 = p
P2 = (1-p)p
P3 = (1-p)(1-p)p = (1-p)2p
P4 = (1-p)(1-p)(1-p)p = (1-p)3p
P5 = (1-p)(1-p)(1-p) (1-p)p = (1-p)4p

Pošto je verovatnoća dobijanja pisma na fer novčiću 0.5, dobijamo da je

P(A)=0.54*0.5=0.03125, odnosno 3.12%

Geometrijska distribucija se može grafički predstaviti putem histograma.

Geometrijska distribucija

Raspodela se naziva geometrijska zato što verovatnoće opadaju geometrijskom progresijom.

Kumulativne verovatnoće geometrijske distribucije se izračunavaju po formuli

P(X ≤ x) = 1 - (1 - p)x

odnosno

P(X > x) = (1 - p)x

Primer: Autostoper

Pretpostavimo da svega 1% vozača stane da bi povezlo autostopera. Petar je stao na put i izbacio prst. Kolika je verovatnoća da će pored njega proći najmanje 7 automobila pre nego što neko stane i poveze ga?

Odgovor: Svako vozilo koje prođe za Petra može biti uspeh ako ga poveze ili neuspeh, ako ga ne poveze. Verovatnoća da će ga neko povesti je p=0.01, odnosno (1-p)=q=0.99 je verovatnoća da ga vozilo neće povesti. Neka je X broj vozila nakon onoga koje će povesti Petra, uključujući i vozilo koje ga je povezlo.

Koristeći se formulom za kumulativnu distribuciju verovatnoće geometrijske distribucije dobijamo

P(X≤7)= (1-0.01)7=0.0679, odnosno 6.79%

To znači da je verovatnoća da će proći manje od 7 vozila pre nego što neko poveze Petra 6,79%, iz čega sledi da je verovatnoća da će proći najmanje 7 automobila pre nego što ga neko poveze jednaka

P(X>7)=1-0.0679=0.9321, tj. 93.21%.

Sve geometrijske distribucije imaju jednak oblik - beskonačni niz sve manjih verovatnoća. Stepen smanjivanja verovatnoća zavisi od veličine p, ali je mod distribucije uvek za x=1. Na ovaj način se generiše paradoks po kojem za svaki događaj ispada da se najčešće dešava kod prvog pokušaja!

Očekivana vrednost geometrijske distribucije izračunava se po formuli

Očekivana vrednost geometrijske distribucije

Varijansa geometrijske distribucije se računa po formuli

Varijansa geometrijske distribucije