Standardna normalna distribucija

Normalna distribucija je najpoznatija distribucija kontinuirane varijable koja je slučajno raspoređena. Svaka normalna distribucija se može pretvoriti u standardnu normalnu raspodelu, tj. standardizovati. Ova distribucija se najčešće od svih teoretskih distribucija koristi u statistici zaključivanja.

Standardna normalna distribucija ima aritmetičku sredinu 0 i standardnu devijaciju 1. Standardna normalna raspodela, kao i svaka teoretska distribucija, nam omogućava da znamo proporciju ili procenat slučajeva ispod ili iznad određenog rezultata. Drugim rečima, standardna normalna distribucija nam omogućava da saznamo verovatnoću pojave takvog rezultata.

Osobine standardne normalne raspodele su:

• Aritmetička sredina µ=0, a standardna devijacija σ=1.
• Površina ispod krive je jednaka 1, odnosno obuhvata 100% slučajeva (zbog čega se i koriste oznake za populaciju).
• Pojedinačni rezultati se prikazuju na X osi u obliku z skorova ili z vrednosti (standardni skorovi) koji se računaju po formuli

  

Z vrednost je mera udaljenosti pojedinog rezultata od aritmetičke sredine izražena u standardnim devijacijama.

Na X osi su prikazane sve vrednosti koje jedna varijabla može da ima, izraženo u broju standardnih devijacija od aritmetičke sredine. Na Y osi su prikazane frekvencije ili koliko je puta neka vrednost opažena u populaciji i označava se sa malim slovom ƒ. Ponekad se na Y osi prikazuje proporcija ili verovatnoća takvog rezultata i tada se vrednost na ordinati kreće od 0 do 1. Što je rezultat češće opažen biće bliži aritmetičkoj sredini, a što je udaljeniji od aritmetičke sredine, bilo u pozitivnu ili negativnu stranu distribucije, biće ređe opažen.

Sa slike se vidi da se ispod i iznad aritmetičke sredine nalazi 50% rezultata, odnosno verovatnoća da neki rezultat bude ispod ili iznad aritmetičke sredine iznosi 0,5. Rezultat koji je iznad aritmetičke sredine imaće pozitivan predznak z skora, a svaki rezultat ispod aritmetičke sredine imaće negativan predznak z vrednosti. Z skor rezultata koji je jednak aritmetičkoj sredini je jednak nuli. Z skor rezultata koji pada na jednu standardnu devijaciju iznad aritmetičke sredine će biti jednak 1, a z=-1 označava rezultat koji pada na jednu standardnu devijaciju ispod aritmetičke sredine.

Procenat rezultata između -1z i +1z je 68,26%, odnosno verovatnoća da se neki rezultat nalazi između -1z i +1z je 0,6826. Procenat rezultata koji se nalaze između aritmetičke sredine i -1z ili između µ i +1z je polovina od površine između -1z i +1z, tj. 34,13 (68,26/2).

Između -2z i + 2z se nalazi 95,44% rezultata, odnosno verovatnoća da se neki rezultat nalazi između -2z i +2z je 0,9544. Procenat rezultata koji se nalaze između aritmetičke sredine µ i +2z je pola od površine između -2z i +2z tj. 95,44/2=47,72. Takođe, između µ i -2z je 47,72 procenata rezultata.

Procenat rezultata između -3z i +3z je 99,74%, odnosno verovatnoća da se neki rezultat nalazi između -3z i +3z je 0,9974. Procenat rezultata koji se nalaze između aritmetičke sredine µ i +3z je pola od površine između -3z i +3z tj. 99,74/2=49,87.

Proporcija slučajeva izvan -3z i +3z je 0,26%, što znači da se 0,13% (0,26/2=0,13) rezultata nalazi ispod -3z, tj. verovatnoća da neki rezultat bude ispod -3z iznosi 0,0013, kao što je verovatnoća da neki rezultat bude iznad +3z iznosi 0,0013.

Funkcija standardne normalne krive glasi

Izračunavanje integrala je komplikovano, pa se zbog toga veličina površine ispod krive očitava u statističkim tablicama, ili se računa upotrebom softvera.