Normalna distribucija verovatnoća

Normalna distribucija je unimodalna simetrična neprekidna distribucija koja je definisana sa dva parametra: očekivanom vrednošću ili aritmetičkom sredinom (μ) i varijansom (σ²). Kako je normalna distribucija simetrična, vrednosti aritmetičke sredine, moda i medijane su iste.

Normalna distribucija je još poznata i kao Gausova distribucija po nemačkom matematičaru i fizičaru Karl Fridrich Gauss-u. On je analizirao podatke o kretanju komete i na osnovu pretpostavke o normalnosti distribucije grešaka u merenju njenog kretanja uspešno je predvideo gde će se pojaviti kometa kada sledeći put bude vidljiva, nakon što se pojavi iza Sunca. Kasnije je koncept preuzet i u društvenim naukama.

Veoma je česta zakonitost da priodni i društveni fenomeni konvergiraju srednjim vrednostima, a da su ekstremne vrednosti retke. To možemo uočiti na primerima visine i težine ljudi, grešaka u merenju, vremena postignutog na maratonu, brzine čitanja, zadovoljstva poslom, rezultata na ispitu i sl. Zbog toga je normalna distribucija veoma važna u statistici.

Drugi razlog zašto je normalna distribucija tako važna je što se mnogi statistički testovi mogu izvoditi ako je slučajna promenljiva koja beleži rezultate posmatranog fenomena normalno distribuirana. Statistički testovi koji podrazumevaju normalnu raspodelu su dovoljno "snažni" i ako su varijable samo približno normalno distribuirane, pa čak i ako je pretpostavka normalnosti jako narušena.

Normalna distribucija se može koristiti i kao aproksimacija u slučajevima nekih promenljivih koje su po svojoj pridodi prekidne, kao na primer ocene na ispitu, inteligencija i dr.

Kriva normalne distribucije je zvonastog oblika i simetrična je u odnosu na aritmetičku sredinu. Vrednost aritmetičke sredine određuje centar distribucije, a varijansa širinu distribucije, kada se grafički prikazuju. Kriva je definisana za sve elemente skupa realnih brojeva.

Funkcija gustine verovatnoće krive normalne distribucije glasi:

Ukupna površina ispod krive normalne distribucije je uvek 1, a maksimum krive se nalazi u tački:

Većina vrednosti normalno distribuirane slučajne promenljive X, oko 99,7%, pada unutar ranga od 3 standardne devijacije od očekivane vrednosti. Oko 95% vrednosti se nalazi unutar intervala -2 do +2 standardne devijacije od očekivane vrednosti. Ovo se nekada naziva pravilo 2 sigme.

Promena parametara distribucije μ i σ² ne menja zvonasti oblik normalne krive, već samo lokaciju na ordinati i skalu. Ukupna površina ispod krive ostaje ista bez obzira na parametre, kao i pravilo 2 sigme.

Na slikama vidimo dve slučajne promenljive koje su normalno distribuirane, ali distribucija ima različite parametre. Na slici levo, vidimo normalnu distribuciju sa većom varijansom, tj. većim varijabilitetom rezultata oko sredine i zato je ona šira u odnosu na drugu, gde je varijabilitet rezultata manji.