Prema centralnoj graničnoj teoremi, ako je veličina uzorka dovoljno velika, distribucija aritmetičkih sredina uzoraka iste veličine teži normalnoj raspodeli bez obzira na oblik distribucije u populaciji. Aritmetička sredina svih aritmetičkih sredina uzoraka je aritmetička sredina populacije i označava se sa µ. Standardna devijacija distribucija aritmetičkih sredina uzoraka je standardna greška aritmetičke sredine i označava se σ_͞x.

Na osnovu toga, položaj aritmetičke sredine određenog uzorka, isto kao i za pojedinačne rezultate u distribuciji, može se izraziti preko z vrednosti. Modifikovana formula za izračunavanje z vrednosti je

Iz formule se vidi da je z jednak količniku razlike aritmetičke sredine uzorka od aritmetičke sredine populacije i standardne greške aritmetičke sredine. Ova formula se može izraziti i kao

Na osnovu z-vrednosti moguće je odrediti verovatnoću, dobijanja te aritmetičke sredine uzorka, pomoću tabela standardne normalne distribucije.

U socijalnim naukama z-vrednost za grupe se ne koristi često, osim u mnogo kompleksnijim varijacijama za testiranje nulte hipoteze. U ovom tekstu će se koristiti za objašnjenje jednosmernog naspram dvosmernog testiranja hipoteze.

Jednosmerno testiranje nulte hipoteze

Jednosmerno testiranje hipoteze se koristi kada se testira direktivna alternativna hipoteza.

Ukoliko postavimo direktivnu hipotezu uz α=0,05, granična vrednost je z=1,65, jer se iznad nalazi 5% verovatnoće da je alternativna hipoteza H_a tačna. Ispod z=1,65 je 95% verovatnoće da je nulta hipoteza tačna.

Ukoliko postavimo direktivnu hipotezu uz α=0,01, granična vrenost je z=2,33, jer se iznad nalazi 1% verovatnoće da je alternativna hipoteza H_a tačna. Ispod z=2,33 je 99% verovatnoće da je nulta hipoteza tačna.

Direktivnom hipotezom se mogu ispitati i negativni ili loši rezultati. U tom slučaju, za α=0,05 granična vrednost je z=-1,65, a za α=0,01 granična vrednost je z=-2,33. Ispod granične vrednosti je područje prihvatanja alternativne hipoteze H_a, a iznad područje zadržavanja nulte hipoteze H₀.

Dvosmerno testiranje nulte hipoteze

Dvosmerno testiranje hipoteze se koristi kada se testira nedirektivna alternativna hipoteza. Dvosmerno testiranje hipoteze je preporučljivo i u situaciji kada se sumnja na postojanje negativnih posledica tretmana koji se ispituje.

Ako se opredelimo za α=0,05 i dvosmerno testiranje hipoteze, tada 5% ispod normalne krive treba podeliti sa dva (0,05/2=0,025). To znači da se područje ispod krive gde se prihvata nulta hipoteza nalazi između -1,96 i 1,96. Ispod i iznad tog područja je oblast važenja alternativne hipoteze H_a.

Ako se opredelimo za α=0,01 i dvosmerno testiranje hipoteze, tada 1% ispod normalne krive treba podeliti sa dva (0,01/2=0,005). To znači da se područje ispod krive gde se prihvata nulta hipoteza nalazi između -2,58 i 2,58. Ispod i iznad tog područja je oblast važenja alternativne hipoteze H_a.

Nedostatak dvosmernog u odnosu na jednosmerno testiranje je što je potreban snažniji rezultat da bi se dostigla značajnost. Rezultat čija je z-vrednost 1,67 bi bio značajan u jednosmernom, ali ne bi bio značajan prilikom dvosmernog testiranja hipoteze. Iz tablice površina ispod normalne krive vidimo da verovatnoća da je z=1,67 iznosi 0,9525, što znači da je površina iznad tog rezultata p=0,0475. Kako je p<0,05, rezultat je statistički značajan. ovaj rezultat nije značajan prilikom dvosmernog testiranja hipoteze, jer je p veće od 0,01.