Slučajni događaj

Osnovni sastojak teorije verovatnoće je eksperiment koji se, makar hipotetički, može ponoviti u suštinski identičnim uslovima, a koji, sa svakim ponavljanjem, može voditi ka različitim ishodima. Skup svih mogućih ishoda eksperimenta se naziva prostor uzorka.

Skup ishoda, odnosno prostor uzorka, može biti konačan ili beskonačan.

Ako je konačan, znači da se mera izražava na prekidnoj skali, kao na primer broj glasača koji su glasali za određenog kandidata. Druga merenja su na neprekidnoj skali. To su uglavnom fizičke veličine kao što su temperatura, vreme reakcije, marginalni prihod i sl.

Zbog jednostavnosti, matematičari su prvo izučavali eksperimente sa konačnim prostorom uzoraka i to takve kod kojih je verovatnoća pojedinačnih ishoda jednaka. U ovom slučaju, verovatnoća pojedinačnog ishoda je definisana kao odnos broja poželjnih ishoda i ukupnog broja ishoda.

Slučajni događaj je onaj događaj čiji ishod ne može da se predvidi unapred. Poznat je samo skup ishoda od kojih jedan sigurno mora da bude, a smatra se da je baš taj ishod rezultat slučajnosti.

Događaj je dobro definisani podskup prostora uzorka. Pri tome, podskup može imati proizvoljan broj elemenata, sve dok je manji od broja elemenata u skupu.

Elementarni događaj je podskup prostora uzorka koji ima samo jedan element.

Složeni događaj je podskup prostora uzorka koji ima više od jednog elementa, tj. sastoji se od više od jednog elementarnog događaja.

Događaji se obeležavaju velikim latiničnim slovima A, B, C itd. Verovatnoća nekog događaja A označava se izrazom P(A) i mora da zadovolji uslov

0≤P(A)≤1

Postoje procesi koji uvek proizvode isti ishod. Događaji koji su rezultat ovakvih procesa nazivaju se sigurni događaji. Verovatnoća dešavanja ovakvih događaja je 1.

Ako kao rezultat procesa ne može da se desi određeni događaj, kažemo da je to nemoguć događaj. Verovatnoća dešavanja nemogućeg događaja je 0.

Verovatnoća slučajnog događaja koji nije siguran ili nemoguć se nalazi između 0 i 1 i ima različite interpretacije. Na primer, ako je P(E)=0.0001, tada smatramo da je izuzetno mala verovatnoća da će se desiti događaj E. Nasuprot tome, ako je P(E)=0.9999, tada je veoma verovatno da će se desiti događaj E.

Presek i unija događaja

Pretpostavimo da imamo dva događaja: A i B.

Presek događaja A i B se obeležava sa A∩B, a čine ga ishodi koji pripadaju prostoru uzorka koji je zajednički događajima A i B. Presek događaja nije prazan ako postoji makar jedan ishod događaja takav da pripada prostoru uzorka događaja A i događaja B. Na taj način presek događaja A i B odgovara logičkom operatoru „i“.

Međusobno isključivi događaji su takvi događaji kod kojih pojava jednog događaja isključuje mogućnost pojave drugih događaja. Presek međusobno isključivih događaja je prazan skup. Po definiciji, svi elementarni događaji su međusobno isključivi.

Unija događaja A i B se obeležava A U B i odgovara logičkom operatoru „ili“. Unija događaja nije prazna ako se dogodio makar jedan ishod događaja A ili B. Formula za izračunavanje broja ishoda unije dva dogaÄ‘aja glasi

n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A∩B)

Broj ishoda događaja A je n(A), a broj ishoda događaja B je n(B). Unija obuhvata sve ishode A i sve ishode B, što obuhvata i one ishode koji su u preseku događaja. Zbog toga se presek događaja mora isključiti iz formule za računanje broja ishoda u uniji događaja, jer bi se u suprotnom ti ishodi brojali dva puta.

Pošto je presek međusobno isključivih događaja jednak 0, ova formula se za međusobno isključive događaje pojednostavljuje i glasi

n(A U B) = n(A) + n(B)

Kada formulu za uniju događaja A i B podelimo sa brojem mogućih ishoda n(S), dobijamo verovatnoću dešavanja unije događaja:

P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

odnosno, za međusobno isključive događaje

P(A U B) = P(A) + P(B)

Ova formula je poznata kao pravilo sabiranja i važi samo za međusobno isključive događaje.

Verovatnoća unije događaja A i B ne može biti manja od verovatnoća događaja A i B, tj.

P(A U B) ≥ min(P(A))